¿Lennon o McCartney? Las matemáticas resuelven la duda

Keith Devlin. Hacer matemáticas, hoy en día, es como dirigir una orquesta tecnológica, con todas las habilidades que eso requiere, con toda la creatividad que implica y con toda la diversión que conlleva.

Zuberoa Marcos. Keith, bienvenido. Muchas gracias por estar hoy aquí con nosotros.

Keith Devlin. Gracias por la invitación.

Zuberoa Marcos. Keith, eres muy polifacético, porque eres matemático…

Keith Devlin. Así es.

Zuberoa Marcos. …eres investigador, eres divulgador científico. Me gustaría empezar desde el principio.

Keith Devlin. De acuerdo.

Zuberoa Marcos. Por tu pasión por las matemáticas. ¿Son las matemáticas algo que siempre te ha cautivado o ha habido algún momento de tu vida en el que te enamoraste de ellas?

Keith Devlin. Hubo un momento concreto, sí, tuve un momento de revelación. Lo que me atrajo de primeras fue la ciencia. Estaba a punto de pasar de la escuela primaria a la secundaria, en el Reino Unido, el año en que lanzaron el Sputnik. Yo era un niño que crecía en la Inglaterra de la posguerra. Leía mucho. Había muy poca radio y televisión, pero leía mucha ciencia ficción, que era uno de los géneros que más me gustaba. Era un lector voraz y las historias de ciencia ficción me entusiasmaban. Y, de repente, la ciencia ficción se convirtió en ciencia real. Habían lanzado un cohete que había puesto un satélite en órbita. Yo estaba totalmente entusiasmado, y dije: «Tengo que dedicarme a esto». Tenía diez años, pero eso era lo que quería hacer. Sabía que tenía que ir a la escuela secundaria para estudiar física, porque la física era lo que llevaba al espacio. En realidad, quería ser astronauta, no lo tenía muy claro, pero sabía que quería ser alguna clase de científico. Yo quería estudiar física, así que fui a la escuela secundaria.

Pero descubrí que, en realidad, había que saber bastantes matemáticas para hacer física y las matemáticas no se me daban bien. En primaria fui el último en aprenderme las tablas de multiplicar.

Así que empecé a poner mucho empeño en aprender matemáticas para poder estudiar física y poder ser astronauta o algo así. No me gustaban las matemáticas, no tenían sentido para mí, pero aprendí a seguir las reglas y a hacer los cálculos, y acabé sacando muy buenas notas. Pero después, cuando tenía 16 años, empecé con las matemáticas avanzadas, en concreto, con el llamado «cálculo». El cálculo es lo que hace que los niños que sobreviven a álgebra acaben totalmente hartos. Casi todos mis amigos huyeron del cálculo. Para mí, fue ahí donde empecé a interesarme por las matemáticas. Era interesante y emocionante.

Estaba claro que eran las matemáticas de la exploración espacial, de los movimientos planetarios y de los satélites. Así que el cálculo era lo más para alguien con mis intereses. Y cuando supe que lo había inventado Isaac Newton cuando tenía 19 años, solo tres más que yo, pensé: «Hubo un inglés hace cientos de años que inventó el cálculo. Yo debería ser capaz de entender estas cosas». Y ahí es cuando me puse en serio, y durante el proceso, entre los 16 y los 18 años, cuando me fui a la universidad, todas las matemáticas empezaron a tener sentido. Ya no eran una mera colección de técnicas y trucos aislados, y cosas que había que aprenderse para resolver problemas. Todo encajó como un rompecabezas que tiras al suelo y cae en el orden correcto, desvelando la imagen.

Yo podía ver esta imagen de las matemáticas y me sorprendió. Era una de las cosas más hermosas que había visto en mi vida. Fue una revelación. Y eso era todo lo que quería hacer, la física se desvaneció de mi mente. No quería ser físico, no quería ser astronauta, quería aprender sobre un mundo mucho más excitante. El espacio exterior era emocionante, pero este mundo de las matemáticas abstractas, que era todo un universo en sí mismo, era lo que yo quería explorar. Así que a partir de los 16 o 17 años, solo quería dedicarme a las matemáticas. Fui a la universidad de King’s College de Londres a estudiar solo matemáticas.

Zuberoa Marcos. Keith, ¿tuviste un mentor o alguien que te ayudara a cultivar este amor por las matemáticas? ¿O es algo que hiciste por tu cuenta?

Keith Devlin. Mis principales mentores fueron, en realidad, escritores de libros de divulgación, razón por la cual acabé esforzándome tanto en escribir libros de divulgación. Lo que me hizo hacer la transición fueron los libros de gente como Walter Warwick Sawyer, que escribía en inglés. Era canadiense y escribía libros de divulgación sobre matemáticas. Hubo algunos clásicos de Lancelot Hoffman y otras personas. Así que yo leía estas obras de divulgación, y eso fue realmente lo que me ayudó a entender de qué iba todo aquello. Tuve la suerte de tener a dos profesores en los dos últimos cursos del instituto, donde, en el Reino Unido, había que elegir entre matemáticas puras o matemáticas aplicadas.

Yo estaba entusiasmado y destacaba, mientras que a los demás estudiantes les costaba mucho porque a ellos no les gustaba el cálculo. Yo era una molestia en potencia. Yo no hacía nada para serlo, pero iba tan adelantado que me dijeron: «No te queremos en clase. Te vamos a mandar al comedor del instituto, a un rincón. Puedes usar estos libros de texto universitarios. Iremos de a verte de vez en cuando y hablaremos contigo. Pero básicamente queremos que aprendas por ti mismo a partir de estos libros».

Al final del primer año, les hacía preguntas y me decían: «Nunca llegué a entender esto cuando era estudiante, pero haré lo que pueda». Así que durante el último año de instituto, fui esencialmente autodidacta a partir de libros de nivel universitario. Pero a esos dos profesores les honra el hecho de haber reconocido que les había superado con mi capacidad y conocimiento. No se sentían molestos por ello, se limitaron a decir: «Haremos todo lo que podamos para ayudarte y nos aseguraremos de que superes los exámenes». Estaba claro que iba a aprobar los exámenes.

Así que, en ese sentido, fui autodidacta. Pero el consuelo humano de tener dos profesores que me apoyaban y me decían: «Ya no podemos enseñarte más, pero vamos a ayudarte», eso me proporcionó apoyo psicológico. Porque yo venía de una familia de clase trabajadora. Mis padres estaban orgullosos de mí, pero en realidad no entendían eso de ir a la universidad en lugar de salir y buscar un trabajo.

Esos dos profesores marcaron una gran diferencia, pero fue una especie de apoyo indirecto. Aparte de eso, yo era autodidacta, lo cual me permitió seguir adelante cuando fui a la escuela de posgrado a investigar. Eres independiente. Tienes un supervisor, pero eres independiente. Así que mi trabajo y mis experiencias en el instituto me prepararon muy bien para ser estudiante de posgrado. Y antes del posgrado, también. Fui a un curso universitario muy bueno en el King’s College de Londres. Solo admitían 20 o 21 estudiantes y tenían que ser los mejores del Reino Unido. Era muy bueno. En aquella época solo el 3% de los estudiantes de secundaria iban a la universidad.

Zuberoa Marcos. Keith, has dicho que en tu caso hubo libros de divulgación científica.

Keith Devlin. Sí, así es.

Zuberoa Marcos. Libros que contribuyeron a fomentar este interés por las matemáticas. Y ahora tú te dedicas a eso, entre otras cosas. Has hecho un trabajo de divulgación increíble con tus libros.

Keith Devlin. Sí.

Zuberoa Marcos. ¿Cuál fue la razón detrás de todo esto? ¿Querías devolver lo que habías recibido cuando eras un niño?

Keith Devlin. Totalmente. De hecho, en cada libro que he escrito, sobre todo en mis primeros libros, la persona en la que estaba pensando era mi yo de 16 años. Y, en gran medida, ese ha sido mi lector ideal desde entonces. Hasta cuando he escrito textos de nivel de posgrado, siempre he tratado de hacerlos accesibles, comprensibles, emocionantes y atractivos para alguien de 16 años que realmente tenga un interés en las matemáticas o que tenga un interés potencial. Porque si puedes captar a alguien a la edad tan influyente de 16 años, entonces es cuando decidirá: «Voy a dedicarme a esto el resto de mi vida». Así que, en cierto modo, cuando escribo, me estoy hablando a mí mismo.

Zuberoa Marcos. ¿Alguna vez te ha resultado difícil explicar un concepto o un tema matemático para que lo entienda todo el mundo?

Keith Devlin. En realidad, no. Algunos libros los he escrito en tan solo tres semanas. Algunos libros me han costado más, algunos me han costado años. Pero nunca me ha resultado difícil hacerlos accesibles. Y creo que eso es realmente debido a la manera en que yo entiendo las matemáticas. Para mí, la única manera de entender las matemáticas es explicarlas con palabras sencillas. Palabras que casi se aprenden en el jardín de infancia, cuando aún juegas en cajones de arena. Metáforas sencillas y cercanas sobre frascos de aceite y mayonesa… Cualquier cosa. Trato de reducirlo a ideas muy simples que tengan sentido para mí como ser humano.

Así que mi trabajo de divulgación consiste simplemente en decir: «¿Qué significado tiene esto para mí?». Una vez estuve en la radio hablando sobre la asistencia gravitatoria, que es cuando la NASA lanza un cohete y luego quieren reutilizarlo y enviarlo a otro lugar, a algún planeta, y le hacen dar varias vueltas para aumentar la aceleración gravitatoria, luego lo catapultan, y así va de un lugar a otro. Para mí, la imagen es la de ir con una canoa río abajo, donde es muy difícil cambiar de dirección si el agua tiene mucha fuerza.

Pero si llegas a un punto en el que dos ríos se cruzan, hay un punto en el medio en el que puedes tomar diferentes caminos. Así que expliqué la asistencia gravitatoria en términos de ir navegando en una canoa, esquivando rocas y demás. Porque así es como yo lo entendía. Para mí, entender significa reducirlo a términos cotidianos. Y hasta que lo consigo, no me siento seguro al tratar esos conceptos matemáticos.

Zuberoa Marcos. Keith, ¿crees que el público entiende mal la ciencia de las matemáticas en concreto?

Keith Devlin. El público realmente no entiende las matemáticas en absoluto. Su concepto de «matemáticas» es totalmente erróneo. Sé de dónde viene: de las matemáticas que aprendieron en la escuela. Pero ese tipo de matemáticas, la verdad, a mí tampoco me gustaban, porque no tenían sentido para mí. Hasta que no… Lo que estoy a punto de decir ya no es necesariamente cierto, porque ahora es diferente debido a las tecnologías modernas.

Pero a lo largo de la historia, para cuando terminabas la escuela, si no habías ido más allá de las matemáticas que allí te enseñaban, te quedabas con una impresión de las matemáticas que era totalmente falsa. Es como si quisieras aprender a construir tu propia casa. En última instancia, lo que quieres es construir algo, así que en primer lugar hay que aprender cómo utilizar la madera, cómo cortarla y juntarla, y cómo poner los ladrillos.

Así que pasas algún tiempo aprendiendo a montar las cosas que necesitarás si quieres construir una casa. Pero eso no es emocionante, es aburrido, son solo las herramientas del oficio. La razón por la que haces eso es para poder decir: «Voy a construir una casa, voy a diseñarla y la voy a hacer bonita». En realidad, estás hablando de arquitectura. Para mí, las matemáticas son como la arquitectura. Las matemáticas que se aprenden en las escuelas primarias son el aprendizaje básico para colocar ladrillos y paredes de ladrillo, y juntar la madera. Son las herramientas del oficio. Y la diferencia es tan abismal que no es de extrañar que las personas que no van más allá de la etapa del aprendizaje de las herramientas, de cómo hacer lo básico, de los ingredientes básicos de la construcción de una casa, si no van más allá…

Ahora que he mencionado ingredientes, pasa lo mismo que cuando cocinas. Si nunca vas más allá de seguir una receta fijándote en los detalles y nunca llegas al punto creativo en el que dices: «Creo que voy a probar a poner un poco de salvia», y eres creativo, y dices: «Esto podría estar bueno, o esto otro. Le pondré un poquito de limón». Ahí empieza a ser emocionante, a ser divertido y a ser creativo. Lo mismo ocurre con las matemáticas. Si no llegas a la fase creativa, nunca te entusiasmarán. Por cierto, yo nunca he llegado a la fase creativa de la cocina. Así que, para mí, cocinar es, en gran medida, una lata, porque tengo que ceñirme a lo básico y seguir las recetas.

Zuberoa Marcos. Keith, antes de que pasemos a hablar sobre cómo llegar a esa fase creativa en las matemáticas, que es algo que realmente me fascina, quiero hablar de otra cosa. Tú has usado las películas, la música, la lingüística, para explicar la belleza de las matemáticas, y para contar hasta qué punto están inmersas en nuestra vida cotidiana. En relación con la música, el año pasado salió la noticia de que un matemático había descubierto quién compuso la famosa canción de los Beatles «In my life». Averiguó si fue Paul McCartney o John Lennon. ¿Podrías explicarnos esa historia?

Keith Devlin. Sí, eso fue algo muy bonito. La razón por la que salí en la radio y escribí en un blog sobre el tema, fue porque realmente demostraba la forma en que las matemáticas y la música pueden interconectarse. Y todo surgió porque no se sabía quién había compuesto esa canción, y no había forma de averiguarlo. Lennon había muerto, pero tanto Lennon como McCartney decían… Era bastante ambiguo porque los dos creían que la habían compuesto.

Pero sí que tenemos técnicas para analizar el lenguaje escrito. Los filtros de «spam» o correo no deseado, por ejemplo. Fueron las matemáticas las que nos permitieron crearlos. Cuando recibimos correos electrónicos, hay unos filtros que separan el correo no deseado. Y lo hacen analizando el contenido de los correos. Primero buscan palabras como: «Viagra», «dinero» y cosas así. Buscan palabras clave obvias. Pero también buscan la forma en que se juntan las palabras, porque los correos no deseados, para poder hacer lo que hacen, tienen una estructura determinada. Y cuando se analizan muchos correos electrónicos, se pueden encontrar patrones en los correos que son «spam» y se pueden encontrar patrones en los correos ordinarios.

Los patrones son muy diferentes. Se cogen las secuencias de palabras, los tipos de palabras y algunas en particular, y se analizan matemáticamente. Es como mirar un montón de pequeños gráficos. Y luego se cogen dos mensajes, se comparan los gráficos, y uno es «spam» y el otro no lo es. Así funcionan los filtros de spam. Lo que los investigadores hicieron con esta canción de Lennon y McCartney fue tomar todas las canciones que los dos habían compuesto, algunas de las cuales se sabía que habían sido compuestas por Lennon, y otras se sabía que habían sido compuestas por McCartney. Así que dijeron: «A las de McCartney las llamaremos ‘spam’ y a las de Lennon las llamaremos ‘correo real’, y ejecutaremos estos algoritmos».

No eran palabras, sino notas musicales, pero se puede hacer lo mismo. Una vez hecha la conversión, podías tomar todas sus canciones y representarlas en términos de pequeñas secuencias de notas, y luego ejecutar los algoritmos del filtro de «spam» y ver en cuál de las dos categorías entraba la canción de «In my life». Y entró en la de Lennon. Del mismo modo que buen filtro de «spam» identifica el correo electrónico real del que no lo es, el algoritmo dijo que «In my life» es, definitivamente, una de las canciones que está en el montón de Lennon, en el montón del correo electrónico real, y que no estaba en el montón de McCartney, que era el de los correos «spam».

Zuberoa Marcos. Tengo entendido que tienes una teoría sobre cómo las matemáticas pueden ayudar a entender mejor «Juego de tronos».

Keith Devlin. Sí, ha habido uno o dos estudios sobre «Juego de Tronos». Yo hice uno hace un par de años. En realidad fueron unos estudiantes universitarios del Medio Oeste estadounidense. Utilizaron las matemáticas que se emplean para analizar las redes de células terroristas. Es algo muy complejo. ¿Cómo analizarías una célula terrorista para saber quién es su líder, quiénes son las personas involucradas? De hecho, así se puede atrapar a muchos terroristas, analizando sus redes y descubriendo el tipo de patrones que suelen tener sus células.

O sea, los métodos que usamos para entender quiénes son las personas clave. Y eso solo se puede hacer observando los patrones matemáticos de las redes. Algunos estudiantes de Estados Unidos, hace dos o tres años, lo aplicaron a «Juego de Tronos» y dijeron: «Están matando a todos estos personajes. ¿Quién sería el más difícil de matar sin estropear la serie? ¿Quién es la persona más importante en términos de redes? Si matas a esa persona, no habría un solo ‘Juego de Tronos’, sino que habría muchos ‘Juegos de Tronos'». Hicieron el análisis y obtuvieron un resultado: «Esta es la persona a la que no se puede matar».

No diré quién es por si alguien no ha visto la serie. Pero lo interesante, desde mi punto de vista, es que esta fue una forma realmente divertida, emocionante y atractiva de concienciar a la gente sobre el tipo de matemáticas que utilizan hoy en día los servicios de seguridad de todo el mundo para proteger sus países de los ataques terroristas. Se desarrollaron con ese objetivo. Y esas técnicas pueden emplearse para todo tipo de cosas, como la venta «online» y demás. Pero también se pueden aplicar a las series de televisión.

Hay otro estudio que se ha hecho hace poco. Unos investigadores de Australia usaron las matemáticas de la epidemiología y sobre la propagación de enfermedades y las aplicaron a «Juego de Tronos» para ver cómo se podían desarrollar las diversas líneas argumentales y cómo podían acabar los distintos personajes. Y, de nuevo, lo bueno de esto es que demuestra que las matemáticas realmente se pueden aplicar en todas partes. Si se puede aplicar en algo como la vida y la muerte, dentro del entretenimiento, se puede aplicar a cualquier cosa.

Zuberoa Marcos. Otra conexión que me ha sorprendido mucho son las similitudes entre Fibonacci y Steve Jobs.

Keith Devlin. Sí, eso, para mí, fue una revelación. Yo estuve trabajando durante varios años en una historia de Fibonacci, que fue el comienzo del mundo moderno, ya que Fibonacci, que se llamaba Leonardo de Pisa, en el siglo XIII, escribió un libro que realmente fue el origen del mundo occidental moderno. Tomó la idea de la aritmética hindoárabe, que se desarrolló en la India en el siglo VI o VII de nuestra era, que trajeron los comerciantes árabes y persas que iban y venían por la Ruta de la Seda, y trajeron ese método de aritmética hindoárabe con diez dígitos de las matemáticas modernas. Lo usaban para comerciar, lo extendieron e introdujeron algo que ahora conocemos como «álgebra», que viene de la palabra árabe «al-Jabr».

Fibonacci, de joven, con 17 o 18 años, viaja para visitar a su padre, que había ido de Pisa al norte de África para representar a los comerciantes pisanos y ocuparse del comercio mediterráneo. Él les ve usar esto y dice: «Vaya, esto es tremendo. Esto puede cambiar el mundo». Y cuando regresa a Italia, con veintipocos años, regresa a Pisa, escribe un libro descomunal explicando con gran detalle cómo hacer este nuevo tipo de aritmética, cómo hacer aritmética con diez dígitos y la notación posicional con un cero. Nuestra forma de entender la aritmética en la actualidad la introdujo él en el mundo occidental a principios del siglo XIII. Y, en pocas décadas, eso supuso el comienzo de la banca, de los seguros, de los conglomerados comerciales internacionales, de los sistemas legales modernos… Todo eso viene de la Toscana a principios del siglo XIII. Y la chispa que lo encendió y el combustible que mantuvo encendido el fuego de esta revolución fue la aritmética hindoárabe. Él cambió completamente el mundo en el siglo XIII.

También escribió muchos otros libros populares sobre matemáticas. Por eso me interesé por él, era un divulgador, así que lo veía como alguien que había dedicado mucho tiempo haciendo algo a lo que yo también había dedicado gran parte de mi carrera. Así que siempre quise escribir un libro de historia sobre él. Y alrededor del año 2000, justo después de regresar a Stanford, dije: «Voy a escribir este libro».

Me subía a un avión en San Francisco, en Silicon Valley, y aterrizaba normalmente en Pisa. Me metía en este mundo del siglo XIII y pensaba en Fibonacci y en lo que hizo, y fui conociendo la historia de Fibonacci. Y después de dos o tres años de hacer esto, de repente pensé: «Esta es la revolución de Silicon Valley de hace 800 años». La historia era exactamente la misma. Así que, en un momento dado, cogí de mi estantería libros sobre Silicon Valley: el de Steven Levy, «Insanely great», que trata sobre la invención de Macintosh. También leí otros libros sobre la invención del Macintosh y el PC.

Y comparé esos relatos de Silicon Valley en los años 70, 80 y 90, me los leí todos y los comparé con toda mi investigación sobre Fibonacci. Y no era solo vagamente similar, sino que el primer paso era el mismo, el segundo paso era el mismo, el tercero también. Era exactamente la misma historia y dije: «Vamos a personalizarlo en Steve Jobs». Porque fue él quien tomó la informática personal… Él no la inventó. En realidad, él no inventó nada, pero fue el que la convirtió en un producto de consumo. En el siglo XIII, Fibonacci tomó algo que alguien había inventado, la aritmética moderna, y la convirtió en un producto de consumo. Él la explicó y presentó de una manera que la gente común pudiera utilizarla. Por lo tanto, fue una revolución del cálculo mental y sobre el papel.

Steve Jobs hizo lo mismo con el Macintosh. La similitud entre esas dos historias es extraordinaria. A los que vivimos en Silicon Valley nos gusta pensar que estamos haciendo algo totalmente nuevo. Pues no. Lo mismo se hizo en el siglo XIII, hasta el último detalle. La diferencia es que, en el siglo XIII, la gente utilizaba la cabeza como dispositivo de computación, y en la actualidad, la gente utiliza chips de silicio que se encuentran en un dispositivo. Pero la historia es la misma.

Zuberoa Marcos. Keith, hay un último ejemplo que me gustaría que compartieras con nosotros. En realidad, en este caso, me gustaría que desmientas o corrobores el mito de la proporción áurea. Se ha dicho que detrás del Partenón, detrás de las pirámides, incluso detrás del logotipo de Apple, se encuentra la idea matemática de la proporción áurea, que es lo que hace que las obras de arte sean bellas. ¿Es eso cierto o no?

Keith Devlin. No, eso es una tontería. Por eso no he podido evitar reírme mientras lo decías. Es una de esas historias que tienen vida propia. Esa historia sobre la proporción áurea y la belleza fue inventada en el siglo XIX por un divulgador científico alemán que descubrió que podía vender libros inventando estas historias que vinculaban la belleza con la divinidad, con Dios y con las matemáticas, y eligió la llamada «proporción áurea». Y todo este mito surgió a partir de eso y cobró vida propia. Otros matemáticos y yo, durante 15 o 20 años, nos hemos estado esforzando mucho en desmentirlo y decir: «No, esto es una tontería». Y es una tontería en varios niveles.

Especialmente porque la proporción áurea, en realidad, no es un número entero dividido por otro, no es una proporción en absoluto. Así que si construyes algo, y lo construyes conforme a unas proporciones determinadas, nunca será la proporción áurea porque la proporción áurea es lo que llamamos a cualquier número racional, y no funciona de esa manera. Pero sea como fuere, si quieres hacer afirmaciones sobre la proporción áurea en las artes y la música, y demás, tienes que aportar pruebas. No puedes hacer una afirmación sin pruebas. Estamos hablando de ciencia, no de creencias religiosas.

Nadie ha presentado ninguna prueba a favor, pero hay muchas pruebas en su contra. Era uno de los ejercicios que solía hacer con estudiantes durante muchos años en la clase de matemáticas. Yo impartía muchas clases de matemáticas para los que no eran de ciencias y siempre había muchos artistas y demás, me gustaba enseñarles. Yo entraba con un trozo de papel en el que había dibujados, por ordenador, toda una serie de rectángulos de diferentes proporciones y les decía: «¿Habéis oído todos la historia sobre la proporción áurea?». «Claro que sí, la conozco». «Contadme lo que sabéis de ella». «En arte, es el rectángulo más hermoso». Y entonces yo decía: «Vale, es el rectángulo más hermoso. Vosotros sois artistas, tenéis un buen sentido estético. Mirad esta hoja y marcad el rectángulo que tenga la proporción áurea, el que os parezca más agradable. ¿Qué rectángulo os parece más agradable estéticamente?».

El rectángulo que nadie escoge jamás es el que tiene la proporción áurea. La gente no lo encuentra atractivo. Les parece demasiado ancho, pero no lo suficiente. No son cuatro tercios y no son dieciséis novenos. Es otra cosa y no es atractivo. Así que un simple experimento demuestra que no es el rectángulo más agradable. Puede que haya sido el rectángulo más agradable en algún momento y, de hecho, el Partenón se acerca bastante a la proporción áurea, porque la proporción áurea es un poco más que un medio.

Así que muchas cosas son de tres a dos. Por ejemplo, Leonardo da Vinci, en muchos de sus dibujos, usaba el tres a dos, que es una proporción muy buena. Pero la proporción áurea se acerca, quizá lo suficiente, pero no es exacta. Así que si quieres hacer una afirmación sobre la proporción áurea, tienes que aportar alguna prueba de por qué ese número en particular es importante. Si es importante simplemente porque está cerca de uno y medio, pues di que es por eso, es la explicación más simple de por qué la gente encuentra las cosas atractivas. Así que no hay pruebas de ello.

Pero hay mucho que decir sobre la proporción áurea. Está muy presente en el mundo natural. Si sales al jardín, verás la proporción áurea y los números de Fibonacci por todas partes. La proporción áurea es un número importante por derecho propio. Es un número interesante desde el punto de vista matemático y tiene relación con la naturaleza, con las cosas vivas. Con lo que no tiene relación es el sentido de la estética y la belleza de la gente.

Hay unos pocos casos en los que la gente lo ha usado explícitamente en la arquitectura y en la música. Pero eso es porque querían introducirlo deliberadamente. Pensamos que Debussy, y hay pruebas que apoyan esto, trataba de introducir deliberadamente la proporción áurea en algunas de sus obras. Algunos pintores también han intentado hacerlo. Pero lo han hecho deliberadamente, no por la estética, sino porque era un número interesante matemáticamente.

A los matemáticos les gusta la proporción áurea porque es interesante matemáticamente, y está claro que está muy presente en el mundo de las plantas y las flores, y demás. ¿Está presente en la estética humana, en la arquitectura? Solo si ha sido introducido deliberadamente, y no es porque tengamos un sentido innato de la belleza que haga que la proporción áurea nos atraiga. De hecho, el rectángulo que a la gente le suele parecer más atractivo es el que más conoce, que suele ser la forma del televisor o la pantalla del ordenador, o la del iPad, la del iPhone.

Los rectángulos con los que pasamos mucho tiempo son los que nos resultan más atractivos. Así que es posible que en los tiempos de la Antigua Grecia, debido a la forma en que se construían los edificios, la mayoría de los edificios se aproximaran a la proporción áurea. Pero no hay absolutamente ninguna prueba de que los arquitectos del Partenón o cualquier otra cosa la utilizaran explícitamente. Y si nos remontamos a las pirámides, no hay pruebas de que nadie de aquella época supiera siquiera de la existencia de la proporción áurea. No se conocía. Que sepamos, la inventaron los griegos alrededor del año 300 antes de Cristo como solución a una ecuación de segundo grado, no hay más.

Zuberoa Marcos. Keith, todos estos ejemplos son geniales y, obviamente, ayudan a fomentar este interés hacia las matemáticas que es tan necesario. De hecho, reconocer que las matemáticas no se te dan bien es como ponerte una medalla. Pero antes has mencionado una idea preciosa, que esto se debe a que la manera en que enseñamos matemáticas en la escuela no ayuda a alcanzar esa fase creativa que te ayudó a desarrollar tu amor por las matemáticas. Entonces, ¿cuál sería tu consejo para que los estudiantes puedan llegar a ese lugar o estado mental?

Keith Devlin. Ahora estamos viviendo en un mundo muy diferente debido a la tecnología. Así que mi consejo es que no escuches a tus padres. Ellos vivían en un mundo diferente donde los profesionales hacían matemáticas de manera diferente, donde había que enseñarla y aprenderla de manera diferente. Las matemáticas no han cambiado desde hace miles de años. Para meterte en matemáticas tenías que ser bueno en aritmética, tenías que ser bueno en álgebra, tenías que aprender a hacer un montón de cálculos algorítmicos procedimentales. Era así. Si no aprobabas lo básico en todos los cursos, nunca podías ir más allá.

Era la única forma de entrar. Y la razón era que no había máquinas, ni dispositivos, no había tecnología que hiciera todo eso por nosotros. En los años 60, aparecieron las calculadoras electrónicas, calculadoras digitales, y luego, a lo largo de los años 60, 70 y 80 aparecieron tecnologías más sofisticadas. De modo que hacia finales de los 80 y principios de los 90, todas las matemáticas que se enseñaban hasta el primer curso de la carrera de Matemáticas, todas esas matemáticas se han automatizado, son accesibles. Puedes hacerlas en tu «smartphone», en la Nube… Ahora tenemos máquinas para hacer todo eso.

Es como cuando se inventó el automóvil, que dejó de ser necesario saber cómo cuidar de un caballo, darle de comer, cepillarlo, asegurarse de que goza de buena salud y aprender a montarlo. Llegaron los automóviles y los caballos desaparecieron. Cuando aprendes a conducir, ni siquiera tienes que aprender sobre el mantenimiento de un automóvil porque hay expertos que se encargan de eso. Lo mismo ocurrió en matemáticas a finales de los años 80 y principios de los 90. Aparecieron tecnologías que podían hacerlo todo: álgebra, cálculo, probabilidades… Básicamente todo lo que era de procedimiento. Si algo en las matemáticas implica hacer el paso uno, dos, tres… Ahora lo hacen los ordenadores. Eso significa que para llegar a ser matemático no es necesario dominar el cálculo, ya que hay herramientas para hacerlo. Lo que tienes que aprender ahora es a usar esas herramientas.

A mí me gusta describirlo en términos de música, es una de mis analogías favoritas. A lo largo de muchas generaciones, ser matemático era como aprender a tocar en una orquesta. Tenías que aprender a tocar el violín, el piano, el violonchelo y la batería. Cuantos más instrumentos tocaras, mejor matemático serías. Los instrumentos eran: aritmética, álgebra, trigonometría, geometría, cálculo, teoría de la probabilidad, ecuaciones diferenciales… Todas estas cosas eran como los instrumentos de la orquesta.

Desde principios de los 90, ser matemático es como ser un director de orquesta. No tienes que tocar ninguno de los instrumentos, solo tienes que entenderlos. Un director de orquesta tiene que saber lo que cada instrumento puede hacer, cuáles son sus limitaciones, cómo unirlos y cómo asegurarse de que se unen para formar un sonido coherente y agradable. Así que se requiere mucha habilidad musical para ser director de orquesta, pero para serlo no hace falta dominar todos los instrumentos. Las matemáticas, ahora, son así. Ya nadie hace cálculos matemáticos a mano, los hacen las máquinas. Ser matemático, hoy en día, consiste en dirigir una maravillosa orquesta de instrumentos. Ahora bien, el director de orquesta tendrá que aprender uno o dos instrumentos para llegar hasta ahí. No puedes convertirte en director de orquesta de la nada, tienes que tener un profundo conocimiento de la música. Lo mismo ocurre con las matemáticas. Así que para ser un matemático, hoy en día, tienes que aprender aritmética, claro está, quizás un poco de álgebra, pero no demasiado, porque todos los cálculos los hacen las máquinas.

No hace falta que a los humanos se nos dé bien hacer eso. No hace falta que entrenemos nuestra mente para ser una calculadora. Eso es aburrido. Una de las razones por las que a la gente no le gusta es porque hacer cálculos es aburrido. Es hacer un paso, luego otro, luego otro… Es lo más alejado que hay de la creatividad. Los seres humanos son creativos. Claro que no nos gusta hacer el paso uno, luego el dos y luego el tres. Lo aguantamos todo el tiempo que sea necesario para conseguir el resultado que estemos buscando.

Pero, ahora, el mundo es diferente y no es necesario forzarse de esa manera. Simplemente tienes que ser creativo y decir: «Quiero ser capaz de hacer esto. Bueno, esto requiere algo llamado cálculo, esto requiere algo llamado trigonometría. Anda, si tengo un programa de trigonometría en mi ordenador, y tengo un programa de cálculo. Aprenderé lo suficiente sobre esos programas para poder usarlos y hacer algo más allá de eso».

Zuberoa Marcos. Keith, tú has creado juegos para enseñar matemáticas. Dices que los juegos son buenos también para aprender matemáticas. Háblame más sobre eso.

Keith Devlin. Sí, en realidad yo, hace mucho tiempo, en el Reino Unido, cuando mis hijas iban al colegio… Estaban empezando a aparecer los primeros ordenadores personales, a principios de los años 80. Por aquel entonces escribí un par de sencillos juegos de matemáticas porque pensé: «Esto es interesante. A ver si puedo hacer algunos juegos de geometría para mis hijas». Y mis dos hijas, que eran unas estudiantes entusiastas, eran muy aplicadas, leían mucho y se esforzaban mucho, quedaron completamente cautivadas por estos videojuegos. Se pasaban horas jugando a estos juegos.

Y entonces pensé: «Vale, he hecho estos dos pequeños videojuegos intrascendentes, pero si yo fuera capaz de meterme en este mundillo y crear buenos videojuegos sobre matemáticas reales, no solo unas matemáticas sencillas, sino matemáticas serias, dada la motivación que despiertan, es una apuesta segura para aprender matemáticas, una asignatura tan difícil. Si se pueden convertir las matemáticas difíciles en un videojuego desafiante y atractivo, entonces es casi seguro que los niños aprenderán matemáticas».

Supongamos que quieres aprender música. Quieres aprender a tocar el piano o algo así. Y el profesor de piano o de guitarra te dice: «Bueno, primero tienes que aprender esta notación musical. Vamos a pasarnos un semestre entero aprendiendo a leer y escribir música. Y luego vamos a pasarnos otro semestre entero practicando escalas en el piano o en la guitarra. Y cuando hayas aprendido todo lo básico, te dejaremos tocar algo de música».

No mucha gente se convertiría en músico, suena aburrido y tedioso. Pero también suena como la clase de matemáticas. «Vamos a aprender a hacer aritmética, luego geometría, luego trigonometría… Cuando hayas aprendido todo eso, entonces podrás juntarlo todo para hacer todas las cosas divertidas». No es de extrañar que a la gente no le guste. Así que decidimos que nuestros juegos fueran el equivalente de los instrumentos.

¿Por qué gustan los instrumentos? En primer lugar, porque sientes la música, la escuchas e interactúas con ella físicamente. Estás literalmente metido en la música. Y la música es real hagas lo que hagas, es algo tangible, proporciona un acceso directo a ella. No te metes en la música a través de la partitura. Puede que tengas una partitura sobre el piano, o en la guitarra, a lo mejor, tienes una partitura aquí abajo, pero solo para echarle un vistazo, en realidad estás sintiendo la música. Así que diseñamos estos instrumentos de modo que puedas tener las fórmulas a mano.

Pero para resolver estos problemas matemáticos, lo que haces es interactuar con el instrumento de la misma manera que un guitarrista tocaría la guitarra o un pianista tocaría el piano. Ahora tenemos juegos. El primero consistía en hacer aritmética como si fuera un instrumento. Con una beca que nos concedieron, construimos un instrumento para hacer fracciones. Luego construimos otro instrumento para hacer ecuaciones algebraicas. Estamos cerca de construir más para realizar estimaciones y otras cosas. Pero el diseño por el que nos guiamos es el de un instrumento musical. ¿Qué hace falta para que un instrumento musical tenga éxito? Tiene que tener una interfaz que sea natural y que te permita sentir la música. Cuando presionas las teclas del piano, sientes la música. Si es un piano de verdad, puedes incluso sentir las vibraciones.

La gente habla de «tocar» el piano. No hablan de «trabajar» con el piano o de «resolver» el piano. Lo tocan. Aunque se estén esforzando mucho, es como un juego. Los videojuegos se juegan, y nosotros queremos que se «juegue» a videojuegos de matemáticas. Tiene que ser un juego, tanto en el sentido de la ejecución como en el sentido de que sea una actividad placentera. Así son los juegos.

Zuberoa Marcos. Keith, además de los videojuegos, ¿qué otras herramientas digitales crees que son útiles para que los jóvenes, los niños, e incluso los adultos, aprendan matemáticas?

Keith Devlin. La herramienta que utilizo, ante todo, es Google. Google es la herramienta más poderosa del mundo para hacer cualquier cosa. Si tengo que resolver algún problema… Como llevo en esto mucho tiempo, me he encontrado con muchos problemas y he trabajado mucho para el Departamento de Defensa y de Industria de Estados Unidos.

Por lo general, son problemas diferentes y no estoy familiarizado con ellos. A veces puedo mirar los problemas y decir: «Sí, sé cómo resolverlo». Pero a menudo no lo sé. Así que lo primero que hago cuando tengo un problema, esto me sucedió cuando estuve trabajando para el Departamento de Defensa, en un montón de proyectos. Miras el problema que ellos te plantean, y yo me meto en Google e introduzco las palabras clave. Y enseguida me salen referencias a algunas investigaciones recientes y artículos académicos. Suelo limitar la búsqueda de Google a los últimos cinco años y veo qué se ha publicado.

Y luego, muy rápidamente, puedo aprender lo que necesite. Al hacerlo, me encuentro con términos que tengo que buscar en Google para comprenderlos. Luego tengo que profundizar un poco más, así que utilizo Wikipedia para buscar las definiciones de estos términos, recurro a YouTube… Hoy en día, si quieres aprender cualquier cosa de matemáticas, hay un vídeo de YouTube que te lo explica. Solo tienes que saber cómo se llama lo que quieres aprender. Si sabes que es algo llamado «programación lineal», te metes en YouTube y tecleas: «programación lineal». Y te salen 50 vídeos, que pueden ser de la Khan Academy o de otros. Así que puedes verte un vídeo de 15 o 20 minutos y te puedes hacer una idea general, puedes trastear un poco…

Tenemos todas estas herramientas de búsqueda, empezando por Google, seguido por la Wikipedia y por YouTube. Y luego, hay herramientas más sofisticadas para hacer matemáticas. Si necesito hacer cálculos, uso algo llamado Wolfram Alpha, que me gusta porque tiene una interfaz muy sencilla. Wolfram Alpha es para las matemáticas lo que Google es para los documentos. Google te permite buscar palabras para encontrar documentos o imágenes.

Wolfram Alpha te permite buscar problemas matemáticos. Tiene una interfaz sencilla en la que solo hay que introducir lo que buscas. Wolfram Alpha no solo te encuentra el método, sino que lo aplica y te da la respuesta. Resuelve el problema. Introduces el problema y la respuesta aparece instantáneamente. Así que puedo llegar muy rápidamente a la resolución del problema para luego presentar un informe. Está todo ahí, en las herramientas, así dirigimos la orquesta de la que hablaba antes.

Zuberoa Marcos. Me encanta la idea de que, al tener estas herramientas, podamos dejar de hacer muchos cálculos mentales. Pero me surge una duda: ¿Cuáles son las matemáticas a las que no podemos renunciar, por decirlo así, las que todavía necesitamos para navegar por un futuro que es completamente desconocido?

Keith Devlin. Sí. Vale, voy a ser un poco radical. Esta idea no es mía, es una idea que circula desde hace varias décadas. Si desarrollas la aritmética de la manera correcta, y lo único que los niños aprenden en toda su vida escolar es aritmética, pero hacemos que alcancen un conocimiento profundo, que profundicen cada vez más en la aritmética y la comprendan cada vez más a fondo, llegados a ese punto, es muy fácil cambiar el foco hacia la trigonometría o la geometría. En otras palabras, si aprendes aritmética correctamente, puedes recurrir a la web, a Google, a la Wikipedia, a YouTube, y aprender cualquier cosa por ti mismo. Y esto es importante porque los tipos de matemáticas que se utilizan en el mundo de hoy están cambiando tan rápidamente con la tecnología y con los cambios de la sociedad que lo que se enseña en la escuela, esas matemáticas en concreto, probablemente no serán relevantes, lo será otra cosa.

Así que la habilidad para usar las matemáticas, hoy en día, consiste en hacer dos cosas: Tienes un problema… Y no importa si eres ingeniero o lo que sea. Si te encuentras un problema, primero tienes que usar Google o lo que sea para encontrar la rama de las matemáticas que mejor se adapte a ese problema. Casi con toda seguridad será algo que ni siquiera existía cuando ibas a la escuela. Y luego aprendes por ti mismo usando esos recursos. Si has aprendido aritmética lo suficientemente bien durante varios años y has profundizado en ella, has aprendido todas las habilidades para hacer las matemáticas que necesitas en otras disciplinas.

Es como si aprendieras a pintar una casa y la pintaras de blanco. Y luego la volvieras a pintar de blanco. Te pasas varios años aprendiendo a pintar la casa pero siempre la pintas de blanco. Pero lo haces cada vez con más detalle, eres más cuidadoso, evitas que las ventanas se manchen de pintura, cada vez se te da mejor, pero estás pintando la casa de blanco. Supongamos que te vuelves a casar y tu nueva esposa te dice: «Quiero que la casa sea azul». Todo lo que tienes que hacer es comprar pintura azul y aplicar las habilidades que ya posees. Las matemáticas son así.

Zuberoa Marcos. Lo que me estás diciendo es algo que has tratado en algunos de tus libros, que las matemáticas no consisten necesariamente en resolver una ecuación o un problema, sino en crear una forma de pensar que puedas aplicar a diferentes aspectos.

Keith Devlin. Así es.

Zuberoa Marcos. No es lo mismo el pensamiento matemático que hacer matemáticas.

Keith Devlin. Eso es, sí. La razón por la que empecé a usar el término «pensamiento matemático»… De hecho, yo creé el primer curso «online» de matemáticas del mundo aquí, en Stanford, 2012, y lo llamé «Introducción al pensamiento matemático».

Y si lo llamé así en vez de solo «Matemáticas» fue para enfatizar que el curso, como todas las matemáticas que se hacen hoy en día en todo el mundo, trata de una forma de pensar. Se trata de una forma de pensar sobre el mundo. Y el mundo en el que estamos pensando podría ser el mundo de las matemáticas en sí mismo. Cuando las matemáticas se aplican sobre sí mismas, las llamamos «matemáticas puras». Cuando se aplican al mundo, las llamamos «matemáticas aplicadas», pero en esencia son lo mismo, son una forma de pensar. Ahora bien, durante miles de años, cuando la única manera de convertirse en matemático era aprender a calcular, cuando uno estaba haciendo matemáticas y tenía que hacer cálculos, tenía que hacerlos literalmente.

Así que la mayor parte de lo que los matemáticos han hecho a lo largo de la historia, la mayor parte del tiempo lo dedicaban a hacer cálculos. La mayor parte del tiempo en una clase de matemáticas se dedicaba a aprender a hacer cálculos. Así que, a lo largo de los siglos, la gente comenzó a pensar que las matemáticas consistían en hacer cálculos. Eso es lo mismo que decir que la arquitectura consiste en poner ladrillos porque, al final, hay que echar cemento y poner los ladrillos. Pero, por supuesto, no es así. Se trata de toda la creatividad en el diseño del edificio, de entender el uso que se da a los edificios… Pero la realidad es que al diseño del edificio se le dedicarán unos meses, y la gente que lo construye pasará meses o años construyéndolo físicamente. Así que, incluso en arquitectura, la mayor parte del tiempo se emplea en construir prestando atención a los detalles, mientras que el diseño es lo más divertido. Eso es lo que pasaba con las matemáticas.

Así que no es de extrañar que cuando oímos la palabra «matemáticas», hoy en día, pensemos en gente escribiendo fórmulas y resolviendo ecuaciones, porque durante miles de años eso es lo que se hacía la mayor parte del tiempo. Ahora bien, durante ese período, los matemáticos reales sabían que eso no era lo importante, que eso solo era la herramienta que tenían que usar. Y tenían que usar sus propios cerebros para hacer los cálculos y desarrollar el pensamiento para entender lo que era correcto y lo que no lo era para obtener respuestas a las preguntas. Pero ellos sabían que lo importante de las matemáticas era el pensamiento. Pero la mayoría de sus estudiantes y los estudiantes de las escuelas no lo sabían porque no iban más allá de los cálculos para llegar al pensamiento creativo. Así que la mayoría de la gente no tiene ni idea de que lo que hacen en la clase de matemáticas es solo la mecánica.

Durante miles de años, hemos dicho: «Es una lástima que la única manera de convertirse en matemático sea aprender todas esas cosas». Eso dejó de ser así a finales de los años 90. Ahora lo hacen las máquinas. Así que no hay necesidad de pasar mucho tiempo en la clase de matemáticas dominando todos esos algoritmos, podemos concentrarnos en todo lo demás. Pero como sé que la palabra «matemáticas» evoca el uso de fórmulas, empecé a usar explícitamente, al igual que algunos colegas míos, el término «pensamiento matemático» para dejar claro que lo importante es el pensamiento y nos vamos a centrar en eso.

Hacer matemáticas, hoy en día, es dirigir una orquesta tecnológica, con todas las habilidades que eso requiere, con toda la creatividad que implica y toda la diversión que conlleva.

Zuberoa Marcos. Muchísimas gracias, Keith.

Keith Devlin. Ha sido todo un placer.